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Actualizado May 9, 2026
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Kaj je linearna funkcija: definicija in graf
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Kaj je linearna funkcija?
Če se sprašuješ, zakaj se sploh učimo linearne funkcije - odgovor je preprost! Linearna funkcija opisuje, kako se ena stvar enakomerno spreminja glede na drugo. To vidimo povsod - od stroškov telefonskega računa do poti, ki jo prevozi avto.
Osnovna oblika linearne funkcije je y = kx + n. Tu je x neodvisna spremenljivka (to si ti izbereš), y pa je odvisna (njena vrednost se spremeni glede na x).
Smerni koeficient k ti pove, ali funkcija narašča (k > 0), pada (k < 0) ali je vodoravna . Začetna vrednost n pa ti pokaže, kje premica seka y-os.
💡 Pomni: Če je k pozitiven, premica gre navzgor, če je negativen, gre navzdol!
Kako narišeš graf linearne funkcije
Risanje grafa zveni težko, a je dejansko preprosto, če poznaš trik! Najprej določiš n - to je tvoja prva točka na y-osi, T₁(0, n).
Nato uporabiš smerni koeficient k. Vedno si ga predstavljaj kot ulomek - če je k = 2, si predstavljaj k = 2/1. To pomeni: premakni se 1 desno in 2 navzgor.
Za drugo točko T₂ se iz T₁ premakneš za imenovalec v desno in za števec navzgor (če je k pozitiven) ali navzdol (če je negativen). Skozi obe točki narišeš premico.
💡 Nasvet: Vedno preveri svoj graf z vstavitvijo koordinat nazaj v enačbo!
Presečišča s koordinatnima osema
Vsaka premica seka obe osi v določenih točkah, ki so zelo pomembne za razumevanje funkcije.
Presečišče z y-osjo je preprosto - to je kar začetna vrednost n. Točka je My(0, n). To se zgodi, ker je x = 0, torej y = k·0 + n = n.
Presečišče z x-osjo (tudi ničla funkcije) je malo bolj zapleteno. Tu je y = 0, zato rešuješ enačbo 0 = kx + n. Rešitev je x = -n/k, torej točka Mx.
💡 Pozor: Ničla obstaja le, če k ≠ 0. Vodoravne premice sekajo x-os le, če gre premica skozi izhodišče!
Rešeni primeri korak za korakom
Za funkcijo y = 2x - 1 je k = 2 in n = -1. Ker je k pozitiven, funkcija narašča. Graf seka y-os v točki (0, -1).
Za risanje: T₁(0, -1), nato se premaknem 1 desno in 2 navzgor do T₂(1, 1). Ničla je pri y = 0: 0 = 2x - 1, torej x = 1/2.
Če imaš dve točki, npr. A(-1, 5) in B(2, -1), najprej izračunaš k = / = (-1-5)/(2-(-1)) = -6/3 = -2.
Nato vsaviš eno točko v y = -2x + n. Z A(-1, 5): 5 = -2(-1) + n, torej n = 3. Končna enačba je y = -2x + 3.
💡 Preveri vedno: Vstavi drugo točko v svojo enačbo - če se izide, imaš prav!
Hiter povzetek za test
Osnovna enačba: y = kx + n, kjer k določa strmino in smer, n pa presečišče z y-osjo.
Smerni koeficient k: pozitiven → narašča, negativen → pada, nič → vodoravna premica.
Risanje: označi n na y-osi, nato se premakni po receptu k = Δy/Δx do druge točke.
Presečišča: z y-osjo je (0, n), z x-osjo pa .
Iskanje enačbe iz dveh točk: izračunaj k, nato vstavi koordinate ene točke za n.
💡 Najpogostejša napaka: pozor na predznake! Dvakrat preveri, predvsem pri negativnih številih.
Končni nasveti
Vzporedne premice imajo enak smerni koeficient k. Navpične premice niso funkcije, ker eni vrednosti x pripada več vrednosti y.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
Kaj je linearna funkcija: definicija in graf
Linearna funkcija je ena najpomembnejših matematičnih funkcij, ki jo boš potreboval ne le za teste, ampak tudi v vsakdanjem življenju. Njen graf je vedno premica, enačba pa ima obliko y = kx + n.
Kaj je linearna funkcija?
Če se sprašuješ, zakaj se sploh učimo linearne funkcije - odgovor je preprost! Linearna funkcija opisuje, kako se ena stvar enakomerno spreminja glede na drugo. To vidimo povsod - od stroškov telefonskega računa do poti, ki jo prevozi avto.
Osnovna oblika linearne funkcije je y = kx + n. Tu je x neodvisna spremenljivka (to si ti izbereš), y pa je odvisna (njena vrednost se spremeni glede na x).
Smerni koeficient k ti pove, ali funkcija narašča (k > 0), pada (k < 0) ali je vodoravna . Začetna vrednost n pa ti pokaže, kje premica seka y-os.
💡 Pomni: Če je k pozitiven, premica gre navzgor, če je negativen, gre navzdol!
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Kako narišeš graf linearne funkcije
Risanje grafa zveni težko, a je dejansko preprosto, če poznaš trik! Najprej določiš n - to je tvoja prva točka na y-osi, T₁(0, n).
Nato uporabiš smerni koeficient k. Vedno si ga predstavljaj kot ulomek - če je k = 2, si predstavljaj k = 2/1. To pomeni: premakni se 1 desno in 2 navzgor.
Za drugo točko T₂ se iz T₁ premakneš za imenovalec v desno in za števec navzgor (če je k pozitiven) ali navzdol (če je negativen). Skozi obe točki narišeš premico.
💡 Nasvet: Vedno preveri svoj graf z vstavitvijo koordinat nazaj v enačbo!
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Vsaka premica seka obe osi v določenih točkah, ki so zelo pomembne za razumevanje funkcije.
Presečišče z y-osjo je preprosto - to je kar začetna vrednost n. Točka je My(0, n). To se zgodi, ker je x = 0, torej y = k·0 + n = n.
Presečišče z x-osjo (tudi ničla funkcije) je malo bolj zapleteno. Tu je y = 0, zato rešuješ enačbo 0 = kx + n. Rešitev je x = -n/k, torej točka Mx.
💡 Pozor: Ničla obstaja le, če k ≠ 0. Vodoravne premice sekajo x-os le, če gre premica skozi izhodišče!
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Rešeni primeri korak za korakom
Za funkcijo y = 2x - 1 je k = 2 in n = -1. Ker je k pozitiven, funkcija narašča. Graf seka y-os v točki (0, -1).
Za risanje: T₁(0, -1), nato se premaknem 1 desno in 2 navzgor do T₂(1, 1). Ničla je pri y = 0: 0 = 2x - 1, torej x = 1/2.
Če imaš dve točki, npr. A(-1, 5) in B(2, -1), najprej izračunaš k = / = (-1-5)/(2-(-1)) = -6/3 = -2.
Nato vsaviš eno točko v y = -2x + n. Z A(-1, 5): 5 = -2(-1) + n, torej n = 3. Končna enačba je y = -2x + 3.
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Osnovna enačba: y = kx + n, kjer k določa strmino in smer, n pa presečišče z y-osjo.
Smerni koeficient k: pozitiven → narašča, negativen → pada, nič → vodoravna premica.
Risanje: označi n na y-osi, nato se premakni po receptu k = Δy/Δx do druge točke.
Presečišča: z y-osjo je (0, n), z x-osjo pa .
Iskanje enačbe iz dveh točk: izračunaj k, nato vstavi koordinate ene točke za n.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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