Vectores y Álgebra Vectorial

Los vectores son elementos matemáticos representados como flechas con magnitud, dirección y sentido. En $\mathbb{R}^n$, un vector es una n-upla $(x_1, x_2, ..., x_n)$ donde cada $x_i$ es un número real.

Las operaciones básicas con vectores incluyen:

• Suma: $\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,...,v_n+w_n)$
• Multiplicación por escalar: $\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,...,\alpha v_n)$
• Resta: $\vec{v}-\vec{w}=(v_1-w_1,...,v_n-w_n)$

El producto interior (o producto punto) se define como: $\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_nw_n = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i$

La norma de un vector mide su longitud: $||\vec{v}|| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$

💡 Truco para recordar: Cuando dos vectores son perpendiculares, su producto interior es cero. ¡Esta propiedad te será útil para verificar perpendicularidad en tus ejercicios!

Ángulos, Proyecciones y Producto Cruz

El ángulo entre dos vectores no nulos se puede calcular usando: $\cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}||||\vec{w}||}$

Dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son:

• Perpendiculares si $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$ (ángulo de 90°)
• Paralelos si $\vec{v} = \lambda \vec{w}$ (ángulo de 0° o 180°)

La proyección ortogonal de un vector $\vec{v}$ sobre otro vector $\vec{w}$ es: $\text{Proy}_{\vec{w}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2} \vec{w}$

El producto cruz solo en $\mathbb{R}^3$ se define como: $\vec{v} \times \vec{w} = (v_2w_3 - v_3w_2, v_3w_1 - v_1w_3, v_1w_2 - v_2w_1)$

Propiedades importantes del producto cruz:

• Es perpendicular a ambos vectores: $(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{v} = 0$ y $(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{w} = 0$
• Es anticonmutativo: $\vec{v} \times \vec{w} = -(\vec{w} \times \vec{v})$

🔍 Aplicación clave: El área de un triángulo con vértices A, B y C puede calcularse como $\text{Área} = \frac{||\vec{AC}|| ||\vec{AB} - \text{Proy}_{\vec{AC}} \vec{AB}||}{2}$. Esta fórmula relaciona conceptos de vectores con problemas geométricos.

Rectas, Planos y Espacios Vectoriales

Rectas en el espacio: Si tenemos dos puntos $P(x_0, y_0, z_0)$ y $Q(x_1, y_1, z_1)$, la recta que pasa por ellos tiene:

• Ecuación vectorial: $(x,y,z) = (x_0, y_0, z_0) + t(x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)$, con $t \in \mathbb{R}$
• Ecuaciones paramétricas: $x = x_0 + t(x_1-x_0)$ $y = y_0 + t(y_1-y_0)$ $z = z_0 + t(z_1-z_0)$

Planos en el espacio: Un plano con vector normal $\vec{n} = (a,b,c)$ que pasa por el punto $P(x_0, y_0, z_0)$ tiene ecuación: $ax + by + cz + d = 0$, donde $d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)$

Un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ es un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar que cumple propiedades como asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, etc.

Un subespacio vectorial $W$ de $V$ es un subconjunto de $V$ que también es un espacio vectorial. Se caracteriza por:

1. Contener al vector nulo: $\vec{0} \in W$
2. Ser cerrado bajo la suma: $\vec{u}, \vec{v} \in W \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in W$
3. Ser cerrado bajo el producto por escalar: $\vec{v} \in W, \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha\vec{v} \in W$

💡 Conexión importante: Si tienes dos vectores no paralelos en un plano, puedes hallar el vector normal usando el producto cruz: $\vec{N} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}$. Esto te permitirá encontrar la ecuación del plano rápidamente.