Asignaturas

AI Bud

Más

Ofertas de empleo

Programa de Creadores

Knowunity Pro

Abrir la app

Asignaturas

80

•

Actualizado 24 feb 2026

•

3 páginas

Introducción a Vectores y Espacios Vectoriales

I

isa

@starletkiss

¿Qué tal? Vamos a repasar conceptos clave de álgebra lineal... Mostrar más

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Vectores y Álgebra Vectorial

Los vectores son elementos matemáticos representados como flechas con magnitud, dirección y sentido. En Rn\mathbb{R}^n, un vector es una n-upla (x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ..., x_n) donde cada xix_i es un número real.

Las operaciones básicas con vectores incluyen:

  • Suma: v⃗+w⃗=(v1+w1,...,vn+wn)\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,...,v_n+w_n)
  • Multiplicación por escalar: αv⃗=(αv1,...,αvn)\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,...,\alpha v_n)
  • Resta: v⃗−w⃗=(v1−w1,...,vn−wn)\vec{v}-\vec{w}=(v_1-w_1,...,v_n-w_n)

El producto interior (o producto punto) se define como: v⃗⋅w⃗=v1w1+v2w2+...+vnwn=∑i=1nviwi\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_nw_n = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i

La norma de un vector mide su longitud: ∣∣v⃗∣∣=v⃗⋅v⃗=v12+v22+...+vn2||\vec{v}|| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}

💡 Truco para recordar: Cuando dos vectores son perpendiculares, su producto interior es cero. ¡Esta propiedad te será útil para verificar perpendicularidad en tus ejercicios!

Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Ángulos, Proyecciones y Producto Cruz

El ángulo entre dos vectores no nulos se puede calcular usando: cos⁡(θ)=v⃗⋅w⃗∣∣v⃗∣∣∣∣w⃗∣∣\cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}||||\vec{w}||}

Dos vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son:

  • Perpendiculares si v⃗⋅w⃗=0\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 (ángulo de 90°)
  • Paralelos si v⃗=λw⃗\vec{v} = \lambda \vec{w} (ángulo de 0° o 180°)

La proyección ortogonal de un vector v⃗\vec{v} sobre otro vector w⃗\vec{w} es: Proyw⃗v⃗=v⃗⋅w⃗∣∣w⃗∣∣2w⃗\text{Proy}_{\vec{w}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2} \vec{w}

El producto cruz solo en $\mathbb{R}^3$ se define como: v⃗×w⃗=(v2w3−v3w2,v3w1−v1w3,v1w2−v2w1)\vec{v} \times \vec{w} = (v_2w_3 - v_3w_2, v_3w_1 - v_1w_3, v_1w_2 - v_2w_1)

Propiedades importantes del producto cruz:

  • Es perpendicular a ambos vectores: (v⃗×w⃗)⋅v⃗=0(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{v} = 0 y (v⃗×w⃗)⋅w⃗=0(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{w} = 0
  • Es anticonmutativo: v⃗×w⃗=−(w⃗×v⃗)\vec{v} \times \vec{w} = -(\vec{w} \times \vec{v})

🔍 Aplicación clave: El área de un triángulo con vértices A, B y C puede calcularse como Aˊrea=∣∣AC⃗∣∣∣∣AB⃗−ProyAC⃗AB⃗∣∣2\text{Área} = \frac{||\vec{AC}|| ||\vec{AB} - \text{Proy}_{\vec{AC}} \vec{AB}||}{2}. Esta fórmula relaciona conceptos de vectores con problemas geométricos.

Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Rectas, Planos y Espacios Vectoriales

Rectas en el espacio: Si tenemos dos puntos P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) y Q(x1,y1,z1)Q(x_1, y_1, z_1), la recta que pasa por ellos tiene:

  • Ecuación vectorial: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(x1−x0,y1−y0,z1−z0)(x,y,z) = (x_0, y_0, z_0) + t(x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0), con t∈Rt \in \mathbb{R}
  • Ecuaciones paramétricas: x=x0+t(x1−x0)x = x_0 + t(x_1-x_0) y=y0+t(y1−y0)y = y_0 + t(y_1-y_0) z=z0+t(z1−z0)z = z_0 + t(z_1-z_0)

Planos en el espacio: Un plano con vector normal n⃗=(a,b,c)\vec{n} = (a,b,c) que pasa por el punto P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) tiene ecuación: ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, donde d=−(ax0+by0+cz0)d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)

Un espacio vectorial sobre R\mathbb{R} es un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar que cumple propiedades como asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, etc.

Un subespacio vectorial WW de VV es un subconjunto de VV que también es un espacio vectorial. Se caracteriza por:

  1. Contener al vector nulo: 0⃗∈W\vec{0} \in W
  2. Ser cerrado bajo la suma: u⃗,v⃗∈W⇒u⃗+v⃗∈W\vec{u}, \vec{v} \in W \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in W
  3. Ser cerrado bajo el producto por escalar: v⃗∈W,α∈R⇒αv⃗∈W\vec{v} \in W, \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha\vec{v} \in W

💡 Conexión importante: Si tienes dos vectores no paralelos en un plano, puedes hallar el vector normal usando el producto cruz: N⃗=d1⃗×d2⃗\vec{N} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}. Esto te permitirá encontrar la ecuación del plano rápidamente.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

Contenidos más populares de Matemáticas

Integrales

Metodos para resolver integrales, coordenadas polares y teorema de pappus

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Resumen Completo M1 y M2 (part. 1)

A mí que me costaba entender, a excepción que lo trasmitiera mediante mis palabras, tener esto a la mano me sirvió caleta, ojalá también les pueda servir a otros

MatemáticasMatemáticas
1°M

M1 para estudiar

Dame las respuestas para poder estudiar y podee tener un buen ñunraje en la paes de matematucas numerl 1 que tengo mañana yo ya resolvi pero qukero saber las que hice estan correcta mente asi que te pido que porfavor oongas solo las resouestas correc

MatemáticasMatemáticas
4°M

Homotecia

Homotecia, que es?, razón (k), Homotecia vectorial

MatemáticasMatemáticas
1°M

Función lineal

Estos apuntes son para saber que es un función lineal , su forma algebraica y un pequeño ejemplo de gráfico.

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Potencias

Que es una potencia y más

MatemáticasMatemáticas
1°M

Simce de matematicas segundo medio

Simce matemáticas

MatemáticasMatemáticas
2°M

COMPETENCIA MATEMATICA PAES 2026

Es de mi profe

MatemáticasMatemáticas
Otros

Porcentaje y variación porcentual

Estrategias de porcentajes, y ejercicios de variación porcentual

MatemáticasMatemáticas
Otros

Contenidos más populares

Integrales

Metodos para resolver integrales, coordenadas polares y teorema de pappus

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Resumen Completo M1 y M2 (part. 1)

A mí que me costaba entender, a excepción que lo trasmitiera mediante mis palabras, tener esto a la mano me sirvió caleta, ojalá también les pueda servir a otros

MatemáticasMatemáticas
1°M

Sistema cardio

Resumen

Ciencias para la CiudadaníaCiencias para la Ciudadanía
Universidad

Texto de estudio anatomia

Texto resumen anatomia sobre generalidades, miembro superior, miembro inferior y torax

OtrosOtros
Universidad

Sistema respiratorio

Fisiología y anatomía

BiologíaBiología
Universidad

M1 para estudiar

Dame las respuestas para poder estudiar y podee tener un buen ñunraje en la paes de matematucas numerl 1 que tengo mañana yo ya resolvi pero qukero saber las que hice estan correcta mente asi que te pido que porfavor oongas solo las resouestas correc

MatemáticasMatemáticas
4°M

Introducción a sistema productivo

Unidad completa

GeografíaGeografía
Universidad

clase 13 histo

Sistema Cardiovascular y linfático

OtrosOtros
Universidad

Apuntes biología PAES célula

Niveles de organización , complejos supramoleculares y organelos

BiologíaBiología
Universidad

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encantó — y a ti también te encantará.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.

Bárbara

Chile

Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.

Jennifer

Perú

Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.

Lady

Colombia

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.

Antonella

Argentina

¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.

Usuario argentino

iOS.

Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.

Alo

México

¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.

Kitty

Colombia

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.

Bárbara

Chile

Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.

Jennifer

Perú

Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.

Lady

Colombia

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.

Antonella

Argentina

¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.

Usuario argentino

iOS.

Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.

Alo

México

¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.

Kitty

Colombia

 

Matemáticas

•

80

•

Actualizado 24 feb 2026

•

3 páginas

Introducción a Vectores y Espacios Vectoriales

I

isa

@starletkiss

¿Qué tal? Vamos a repasar conceptos clave de álgebra lineal y geometría vectorial. Este resumen te ayudará a comprender los vectores, operaciones vectoriales, rectas, planos y espacios vectoriales, herramientas matemáticas fundamentales para describir el espacio y resolver problemas geométricos.

Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Vectores y Álgebra Vectorial

Los vectores son elementos matemáticos representados como flechas con magnitud, dirección y sentido. En Rn\mathbb{R}^n, un vector es una n-upla (x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ..., x_n) donde cada xix_i es un número real.

Las operaciones básicas con vectores incluyen:

  • Suma: v⃗+w⃗=(v1+w1,...,vn+wn)\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,...,v_n+w_n)
  • Multiplicación por escalar: αv⃗=(αv1,...,αvn)\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,...,\alpha v_n)
  • Resta: v⃗−w⃗=(v1−w1,...,vn−wn)\vec{v}-\vec{w}=(v_1-w_1,...,v_n-w_n)

El producto interior (o producto punto) se define como: v⃗⋅w⃗=v1w1+v2w2+...+vnwn=∑i=1nviwi\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + ... + v_nw_n = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i

La norma de un vector mide su longitud: ∣∣v⃗∣∣=v⃗⋅v⃗=v12+v22+...+vn2||\vec{v}|| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}

💡 Truco para recordar: Cuando dos vectores son perpendiculares, su producto interior es cero. ¡Esta propiedad te será útil para verificar perpendicularidad en tus ejercicios!

Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Ángulos, Proyecciones y Producto Cruz

El ángulo entre dos vectores no nulos se puede calcular usando: cos⁡(θ)=v⃗⋅w⃗∣∣v⃗∣∣∣∣w⃗∣∣\cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}||||\vec{w}||}

Dos vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son:

  • Perpendiculares si v⃗⋅w⃗=0\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 (ángulo de 90°)
  • Paralelos si v⃗=λw⃗\vec{v} = \lambda \vec{w} (ángulo de 0° o 180°)

La proyección ortogonal de un vector v⃗\vec{v} sobre otro vector w⃗\vec{w} es: Proyw⃗v⃗=v⃗⋅w⃗∣∣w⃗∣∣2w⃗\text{Proy}_{\vec{w}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2} \vec{w}

El producto cruz solo en $\mathbb{R}^3$ se define como: v⃗×w⃗=(v2w3−v3w2,v3w1−v1w3,v1w2−v2w1)\vec{v} \times \vec{w} = (v_2w_3 - v_3w_2, v_3w_1 - v_1w_3, v_1w_2 - v_2w_1)

Propiedades importantes del producto cruz:

  • Es perpendicular a ambos vectores: (v⃗×w⃗)⋅v⃗=0(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{v} = 0 y (v⃗×w⃗)⋅w⃗=0(\vec{v} \times \vec{w}) \cdot \vec{w} = 0
  • Es anticonmutativo: v⃗×w⃗=−(w⃗×v⃗)\vec{v} \times \vec{w} = -(\vec{w} \times \vec{v})

🔍 Aplicación clave: El área de un triángulo con vértices A, B y C puede calcularse como Aˊrea=∣∣AC⃗∣∣∣∣AB⃗−ProyAC⃗AB⃗∣∣2\text{Área} = \frac{||\vec{AC}|| ||\vec{AB} - \text{Proy}_{\vec{AC}} \vec{AB}||}{2}. Esta fórmula relaciona conceptos de vectores con problemas geométricos.

Resumen certamen 2 Vectores Flecha con semtida, dirección y magnitud. DEF n-upla $(x_1, x_n)$ en $IR^n$ con $x_i \in IR$. * VECTOR NULO =

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Rectas, Planos y Espacios Vectoriales

Rectas en el espacio: Si tenemos dos puntos P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) y Q(x1,y1,z1)Q(x_1, y_1, z_1), la recta que pasa por ellos tiene:

  • Ecuación vectorial: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(x1−x0,y1−y0,z1−z0)(x,y,z) = (x_0, y_0, z_0) + t(x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0), con t∈Rt \in \mathbb{R}
  • Ecuaciones paramétricas: x=x0+t(x1−x0)x = x_0 + t(x_1-x_0) y=y0+t(y1−y0)y = y_0 + t(y_1-y_0) z=z0+t(z1−z0)z = z_0 + t(z_1-z_0)

Planos en el espacio: Un plano con vector normal n⃗=(a,b,c)\vec{n} = (a,b,c) que pasa por el punto P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) tiene ecuación: ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, donde d=−(ax0+by0+cz0)d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)

Un espacio vectorial sobre R\mathbb{R} es un conjunto con operaciones de suma y producto por escalar que cumple propiedades como asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro, etc.

Un subespacio vectorial WW de VV es un subconjunto de VV que también es un espacio vectorial. Se caracteriza por:

  1. Contener al vector nulo: 0⃗∈W\vec{0} \in W
  2. Ser cerrado bajo la suma: u⃗,v⃗∈W⇒u⃗+v⃗∈W\vec{u}, \vec{v} \in W \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} \in W
  3. Ser cerrado bajo el producto por escalar: v⃗∈W,α∈R⇒αv⃗∈W\vec{v} \in W, \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha\vec{v} \in W

💡 Conexión importante: Si tienes dos vectores no paralelos en un plano, puedes hallar el vector normal usando el producto cruz: N⃗=d1⃗×d2⃗\vec{N} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}. Esto te permitirá encontrar la ecuación del plano rápidamente.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

3

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas de Estudio Interactivas ✓ Prueba Completa de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Prueba de Práctica
Quiz
Fichas
Ensayo

Contenidos más populares de Matemáticas

Integrales

Metodos para resolver integrales, coordenadas polares y teorema de pappus

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Resumen Completo M1 y M2 (part. 1)

A mí que me costaba entender, a excepción que lo trasmitiera mediante mis palabras, tener esto a la mano me sirvió caleta, ojalá también les pueda servir a otros

MatemáticasMatemáticas
1°M

M1 para estudiar

Dame las respuestas para poder estudiar y podee tener un buen ñunraje en la paes de matematucas numerl 1 que tengo mañana yo ya resolvi pero qukero saber las que hice estan correcta mente asi que te pido que porfavor oongas solo las resouestas correc

MatemáticasMatemáticas
4°M

Homotecia

Homotecia, que es?, razón (k), Homotecia vectorial

MatemáticasMatemáticas
1°M

Función lineal

Estos apuntes son para saber que es un función lineal , su forma algebraica y un pequeño ejemplo de gráfico.

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Potencias

Que es una potencia y más

MatemáticasMatemáticas
1°M

Simce de matematicas segundo medio

Simce matemáticas

MatemáticasMatemáticas
2°M

COMPETENCIA MATEMATICA PAES 2026

Es de mi profe

MatemáticasMatemáticas
Otros

Porcentaje y variación porcentual

Estrategias de porcentajes, y ejercicios de variación porcentual

MatemáticasMatemáticas
Otros

Contenidos más populares

Integrales

Metodos para resolver integrales, coordenadas polares y teorema de pappus

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Resumen Completo M1 y M2 (part. 1)

A mí que me costaba entender, a excepción que lo trasmitiera mediante mis palabras, tener esto a la mano me sirvió caleta, ojalá también les pueda servir a otros

MatemáticasMatemáticas
1°M

Sistema cardio

Resumen

Ciencias para la CiudadaníaCiencias para la Ciudadanía
Universidad

Texto de estudio anatomia

Texto resumen anatomia sobre generalidades, miembro superior, miembro inferior y torax

OtrosOtros
Universidad

Sistema respiratorio

Fisiología y anatomía

BiologíaBiología
Universidad

M1 para estudiar

Dame las respuestas para poder estudiar y podee tener un buen ñunraje en la paes de matematucas numerl 1 que tengo mañana yo ya resolvi pero qukero saber las que hice estan correcta mente asi que te pido que porfavor oongas solo las resouestas correc

MatemáticasMatemáticas
4°M

Introducción a sistema productivo

Unidad completa

GeografíaGeografía
Universidad

clase 13 histo

Sistema Cardiovascular y linfático

OtrosOtros
Universidad

Apuntes biología PAES célula

Niveles de organización , complejos supramoleculares y organelos

BiologíaBiología
Universidad

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encantó — y a ti también te encantará.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.

Bárbara

Chile

Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.

Jennifer

Perú

Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.

Lady

Colombia

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.

Antonella

Argentina

¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.

Usuario argentino

iOS.

Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.

Alo

México

¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.

Kitty

Colombia

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.

Bárbara

Chile

Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.

Jennifer

Perú

Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.

Lady

Colombia

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.

Antonella

Argentina

¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.

Usuario argentino

iOS.

Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.

Alo

México

¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.

Kitty

Colombia