Integral Definida: Concepto y Notación

La integral definida surge al intentar calcular el área bajo una curva. Si tienes una función continua f(x) en un intervalo $a,b$, puedes dividir este intervalo en n subintervalos iguales de longitud Δx = $b-a$/n. Al elegir un punto xi en cada subintervalo, la integral definida se define como:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} f$x_i$ \Delta x$$

Esta fórmula representa la suma de Riemann, que aproxima el área bajo la curva. Cuando el número de subintervalos tiende a infinito, obtenemos el valor exacto del área.

💡 Consejo práctico: Visualiza la integral definida como el área neta entre la función y el eje X. Las áreas sobre el eje suman positivamente, mientras que las áreas bajo el eje suman negativamente.

El concepto de suma de Riemann puede parecer complicado al principio, pero básicamente estamos sumando muchos rectángulos delgados cuya altura es el valor de la función en un punto determinado.

Área Bajo una Curva

Cuando una función f(x) es continua y positiva en un intervalo $a,b$, el área de la región limitada por la gráfica de la función, las rectas verticales x = a, x = b y el eje X está dada por:

$$\text{Área(R)} = \int_a^b f(x)dx$$

Por ejemplo, para calcular el área bajo la parábola f(x) = x² desde x = 1 hasta x = 4:

1. Identificamos f(x) = x² y $a,b$ = $1,4$
2. Dividimos el intervalo en n subintervalos: Δx = (4-1)/n = 3/n
3. Elegimos puntos: xi = 1 + 3i/n
4. Al aplicar la suma de Riemann y calcular el límite cuando n → ∞, obtenemos:

$$\int_{1}^{4} x^2 dx = 21$$

Al dividir el intervalo en más y más subintervalos $como se muestra en las representaciones visuales para n = 10, 20, 30, 40$, la aproximación del área se vuelve cada vez más precisa.

Propiedades de las Integrales Definidas

Las integrales definidas tienen propiedades que facilitan su cálculo:

1. La integral sobre un intervalo de longitud cero es cero: $$\int_a^a f(x) dx = 0$$

2. Si invertimos los límites de integración, cambia el signo de la integral: $$\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$$

3. Podemos sacar constantes fuera de la integral: $$\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx$$

4. La integral de una suma es igual a la suma de las integrales: $$\int_a^b $f(x) \pm g(x)$ dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$

5. Una integral sobre un intervalo puede dividirse en la suma de integrales en subintervalos: $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$

Estas propiedades te ayudarán a resolver integrales más complejas descomponiéndolas en partes más manejables.

Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la derivación con la integración, estableciendo que:

Si f es una función continua en el intervalo $a,b$ y F es cualquier antiderivada (primitiva) de f, entonces:

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

Esto se escribe comúnmente como: $$\int_a^b f(x) dx = F(x) \Big|_a^b$$

Este teorema simplifica enormemente el cálculo de integrales definidas. Por ejemplo:

$$\int_{-1}^5 $1 + x^2$ dx = \left x + \frac{x^3}{3} \right_{-1}^5 = \left5 + \frac{125}{3}\right - \left-1 + \frac{-1}{3}\right = \frac{170}{3} \approx 48$$

El teorema tiene un significado profundo: si conoces la tasa de cambio de una cantidad (la derivada), puedes encontrar la cantidad acumulada (la integral) calculando una antiderivada y evaluándola en los límites.

Cálculo de Áreas: Casos Básicos

Hay varios casos para calcular áreas usando integrales:

Caso 1: Área bajo una curva positiva Para una función f(x) ≥ 0 en $a,b$, el área es: $$\text{Área} = \int_a^b f(x) dx$$

Caso 2: Área sobre una curva negativa Para una función f(x) ≤ 0 en $a,b$, el área es: $$\text{Área} = -\int_a^b f(x) dx$$

Caso 3: Área entre dos curvas Para dos funciones f(x) y g(x) donde f(x) ≥ g(x) en $a,b$, el área entre ellas es: $$\text{Área} = \int_a^b $f(x) - g(x)$ dx$$

Al calcular áreas con integrales, debes primero identificar qué caso aplica, y en ocasiones tendrás que dividir la región en subregiones para aplicar el caso correcto en cada una.

Área Entre Curvas: Casos Complejos

Cuando trabajas con áreas entre curvas más complejas, a veces necesitas dividir el intervalo en partes donde cambia qué función está arriba y cuál está abajo.

Por ejemplo, si tienes una región R dividida en R₁ y R₂, donde en R₁ la función f(x) está arriba y en R₂ la función g(x) está arriba:

$$\text{Área} = \int_a^b $f(x) - g(x)$ dx + \int_b^c $g(x) - f(x)$ dx$$

Es fundamental trazar las gráficas para identificar los puntos de intersección y determinar qué función está arriba en cada subintervalo.

También hay situaciones donde es más conveniente integrar respecto a y en lugar de x. Por ejemplo, cuando la región está limitada por curvas x = g(y), el área se calcula como:

$$\text{Área} = \int_c^d g(y) dy$$

Elige el método de integración (respecto a x o y) que haga el cálculo más sencillo según la forma de las curvas involucradas.

Sólidos de Revolución

Un sólido de revolución se genera al girar una región plana alrededor de un eje. Si tienes una región R limitada por y = f(x) ≥ 0, las rectas x = a, x = b y el eje X, y la giras alrededor del eje X, obtienes un sólido de revolución.

Los sólidos de revolución son comunes en geometría y tienen aplicaciones prácticas en ingeniería. Por ejemplo:

• Girar un segmento horizontal alrededor del eje X genera un cilindro
• Girar un segmento oblicuo genera un cono o tronco de cono
• Girar una semicircunferencia genera una esfera

Para visualizar un sólido de revolución, imagina cada punto de la región original trazando un círculo alrededor del eje de rotación, creando así un objeto tridimensional.

💡 Visualización: Piensa en el sólido de revolución como si tomaras la región R y la hicieras girar rápidamente alrededor del eje, como al girar una masa de pizza.

Método de los Discos

El método de los discos nos permite calcular el volumen de un sólido de revolución. Si giramos la región bajo la curva y = f(x) entre x = a y x = b alrededor del eje X, el volumen está dado por:

$$V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx = \pi \int_a^b y^2 dx$$

La demostración de este método sigue pasos similares al cálculo del área:

1. Dividimos el intervalo $a,b$ en n subintervalos de igual longitud
2. Formamos rectángulos en cada subintervalo
3. Al girar cada rectángulo alrededor del eje X, obtenemos n cilindros
4. El volumen de cada cilindro (elemento de volumen) es π·f(xᵢ)²·Δx
5. Sumamos todos estos volúmenes y tomamos el límite cuando n → ∞

Este método es efectivo porque representa el sólido como una suma de discos circulares infinitamente delgados, cada uno con radio f(x) y grosor dx.

Ejemplos de Cálculo de Volúmenes

Ejemplo 1: Calcula el volumen del sólido generado al girar la región bajo la curva f(x) = √x entre x = 1 y x = 4 alrededor del eje X.

Aplicando el método de los discos: $$V = \pi \int_1^4 f(x)^2 dx = \pi \int_1^4 $\sqrt{x}$^2 dx = \pi \int_1^4 x dx = \pi \left \frac{x^2}{2} \right_1^4 = \pi \left \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right = \frac{15\pi}{2}$$

Ejemplo 2: Calcula el volumen del sólido generado al girar la región entre las parábolas y = x² e y = √x alrededor del eje X.

Primero identificamos donde se intersectan las curvas: x² = √x → x⁴ = x → x = 0 o x = 1 En el intervalo $0,1$, √x está arriba de x², por lo que: $$V = \pi \int_0^1 $(√x)^2 - (x^2)^2$ dx = \pi \int_0^1 $x - x^4$ dx = \pi \left \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right_0^1 = \pi \left \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right = \frac{3\pi}{10}$$

En estos ejemplos, el método de los discos transforma un problema tridimensional complejo en una integral relativamente sencilla.

Rotación Alrededor del Eje Y

De manera similar al método de los discos para rotación alrededor del eje X, podemos calcular el volumen de un sólido generado al girar una región alrededor del eje Y.

Si tenemos una región limitada por x = g(y), las rectas y = c, y = d y el eje Y, el volumen del sólido generado al girarla alrededor del eje Y es:

$$V = \pi \int_c^d g(y)^2 dy = \pi \int_c^d x^2 dy$$

Este método es útil cuando la región se describe más fácilmente como una función de y en lugar de x.

Ejemplo: Calcula el volumen del sólido generado al girar la región entre y = x³ y y = 2 alrededor del eje Y.

Despejando x en términos de y: x = y^(1/3)

$$V = \pi \int_0^2 $y^{1/3}$^2 dy = \pi \int_0^2 y^{2/3} dy = \pi \left \frac{3y^{5/3}}{5} \right_0^2 = \pi \cdot \frac{3 \cdot 2^{5/3}}{5} = \pi \cdot \frac{3 \cdot 2^{5/3}}{5} \approx 3.04\pi$$

Elige el método (rotación alrededor del eje X o Y) que haga más sencillo tu cálculo, según la forma de las curvas que definen tu región.