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62
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12 dic 2025
•
Tamara Pirul
@tamarapirul
Las funciones matemáticas son relaciones que asignan a cada elemento... Mostrar más
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos no vacíos A y B (dominio y codominio), donde cada elemento del dominio se relaciona con exactamente un elemento del codominio. Gráficamente, esto significa que cada elemento de A tiene una única flecha que lo conecta con un elemento de B.
Es importante distinguir cuándo una relación es una función o no. Si algún elemento del dominio no tiene imagen o tiene más de una imagen en el codominio, no estamos ante una función. El conjunto que contiene todos los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos de A recibe el nombre de recorrido o rango de la función.
💡 Para recordar fácilmente: en una función, cada elemento del dominio debe tener exactamente una pareja en el codominio, ¡ni más ni menos!
El dominio de una función comprende todos aquellos elementos que, al ser reemplazados en la función, retornan un número real.
Para decidir si una gráfica representa una función, utilizamos el criterio de la recta paralela vertical. Este criterio establece que al trazar rectas paralelas al eje vertical en todo el dominio de la gráfica, ésta representará una función únicamente si cada recta corta la gráfica en un solo punto.
Cuando analizamos funciones analíticamente, el dominio y el recorrido se definen de la siguiente manera:
En notación matemática:
📝 Siempre verifica si una relación es función con el criterio de la recta vertical: si cualquier recta vertical corta la gráfica más de una vez, ¡no es una función!
Una función racional se define como el cociente entre dos funciones P y Q dependientes de x:
f(x) = P(x)/Q(x)
Al trabajar con estas funciones, debemos tener especial cuidado con el denominador, que nunca puede ser igual a cero. Para hallar el dominio de una función racional, establecemos la restricción de que el denominador no sea cero.
Por ejemplo, para f(x) = /, calculamos:
Para hallar el recorrido, debemos despejar x en términos de y, lo que nos permite identificar qué valores puede tomar y.
🔍 Las funciones racionales generalmente tienen asíntotas verticales en los valores donde el denominador se hace cero. Estas son líneas que la gráfica nunca toca.
Existen diferentes tipos de funciones según sus características:
Una función es sobreyectiva cuando el codominio coincide con el recorrido, es decir, todos los elementos del codominio son imagen de al menos un elemento del dominio.
Una función es inyectiva cuando a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio, y elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes.
Una función es biyectiva cuando cumple simultáneamente las condiciones de ser inyectiva y sobreyectiva. Las funciones biyectivas son importantes porque admiten función inversa.
Estas propiedades nos permiten entender cómo se comporta una función y son fundamentales para determinar si podemos "deshacer" la operación que realiza una función mediante su inversa.
💡 Una forma sencilla de entender la biyectividad: es cuando cada elemento del conjunto de llegada tiene exactamente una "pareja" en el conjunto de salida, ni más ni menos.
Las asíntotas son rectas que limitan las gráficas de ciertas funciones. Son fundamentales para entender el comportamiento de funciones racionales e irracionales en sus extremos o puntos críticos.
Las asíntotas verticales corresponden a valores que no pertenecen al dominio de la función. Por ejemplo, en la función f(x) = /, el valor x = 1/3 no pertenece al dominio, por lo que la recta x = 1/3 es una asíntota vertical.
Las asíntotas horizontales se relacionan con los valores que no pertenecen al recorrido. Para la misma función, el valor y = 7/3 no pertenece al recorrido, por lo que la recta y = 7/3 es una asíntota horizontal.
⚠️ Al graficar funciones racionales, siempre identifica primero sus asíntotas. Te ayudarán a visualizar los límites de la función y evitarás errores comunes en la representación.
Las funciones irracionales son aquellas que incluyen raíces de expresiones algebraicas. Se definen como:
f(x) = √ⁿ + K
donde n es un número igual o mayor a 2 y K puede ser cualquier número real.
El dominio y recorrido de estas funciones dependen del valor de n:
Si n es par:
Si n es impar:
Por ejemplo, para f(x) = √ - 3:
💪 Cuando trabajes con funciones irracionales, identifica si la raíz es par o impar. ¡Esto cambiará completamente las restricciones del dominio!
La composición de funciones es una operación que consiste en aplicar una función después de otra. Si tenemos dos funciones f y g, definimos:
Los dominios de estas composiciones son:
Para calcular composiciones, simplemente sustituimos una función dentro de otra. Por ejemplo, si:
Entonces:
🧩 La composición de funciones no es conmutativa: generalmente fog ≠ gof. Piensa en ello como ponerse primero los calcetines y luego los zapatos (orden correcto) versus ponerse primero los zapatos y luego los calcetines (¡imposible!).
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Roberto
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Tamara Pirul
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Las funciones matemáticas son relaciones que asignan a cada elemento de un conjunto (dominio) un único elemento de otro conjunto (codominio). Comprender sus propiedades y representaciones es fundamental para resolver problemas en matemáticas y ciencias aplicadas.
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Una función es una correspondencia entre dos conjuntos no vacíos A y B (dominio y codominio), donde cada elemento del dominio se relaciona con exactamente un elemento del codominio. Gráficamente, esto significa que cada elemento de A tiene una única flecha que lo conecta con un elemento de B.
Es importante distinguir cuándo una relación es una función o no. Si algún elemento del dominio no tiene imagen o tiene más de una imagen en el codominio, no estamos ante una función. El conjunto que contiene todos los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos de A recibe el nombre de recorrido o rango de la función.
💡 Para recordar fácilmente: en una función, cada elemento del dominio debe tener exactamente una pareja en el codominio, ¡ni más ni menos!
El dominio de una función comprende todos aquellos elementos que, al ser reemplazados en la función, retornan un número real.
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Para decidir si una gráfica representa una función, utilizamos el criterio de la recta paralela vertical. Este criterio establece que al trazar rectas paralelas al eje vertical en todo el dominio de la gráfica, ésta representará una función únicamente si cada recta corta la gráfica en un solo punto.
Cuando analizamos funciones analíticamente, el dominio y el recorrido se definen de la siguiente manera:
En notación matemática:
📝 Siempre verifica si una relación es función con el criterio de la recta vertical: si cualquier recta vertical corta la gráfica más de una vez, ¡no es una función!
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Una función racional se define como el cociente entre dos funciones P y Q dependientes de x:
f(x) = P(x)/Q(x)
Al trabajar con estas funciones, debemos tener especial cuidado con el denominador, que nunca puede ser igual a cero. Para hallar el dominio de una función racional, establecemos la restricción de que el denominador no sea cero.
Por ejemplo, para f(x) = /, calculamos:
Para hallar el recorrido, debemos despejar x en términos de y, lo que nos permite identificar qué valores puede tomar y.
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Una función es sobreyectiva cuando el codominio coincide con el recorrido, es decir, todos los elementos del codominio son imagen de al menos un elemento del dominio.
Una función es inyectiva cuando a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio, y elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes.
Una función es biyectiva cuando cumple simultáneamente las condiciones de ser inyectiva y sobreyectiva. Las funciones biyectivas son importantes porque admiten función inversa.
Estas propiedades nos permiten entender cómo se comporta una función y son fundamentales para determinar si podemos "deshacer" la operación que realiza una función mediante su inversa.
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Las asíntotas son rectas que limitan las gráficas de ciertas funciones. Son fundamentales para entender el comportamiento de funciones racionales e irracionales en sus extremos o puntos críticos.
Las asíntotas verticales corresponden a valores que no pertenecen al dominio de la función. Por ejemplo, en la función f(x) = /, el valor x = 1/3 no pertenece al dominio, por lo que la recta x = 1/3 es una asíntota vertical.
Las asíntotas horizontales se relacionan con los valores que no pertenecen al recorrido. Para la misma función, el valor y = 7/3 no pertenece al recorrido, por lo que la recta y = 7/3 es una asíntota horizontal.
⚠️ Al graficar funciones racionales, siempre identifica primero sus asíntotas. Te ayudarán a visualizar los límites de la función y evitarás errores comunes en la representación.
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f(x) = √ⁿ + K
donde n es un número igual o mayor a 2 y K puede ser cualquier número real.
El dominio y recorrido de estas funciones dependen del valor de n:
Si n es par:
Si n es impar:
Por ejemplo, para f(x) = √ - 3:
💪 Cuando trabajes con funciones irracionales, identifica si la raíz es par o impar. ¡Esto cambiará completamente las restricciones del dominio!
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Los dominios de estas composiciones son:
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Entonces:
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
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Kitty
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Pablo
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Elena
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