Transformaciones de Homotecia: Conceptos y Ejemplos

Homotecia

La homotecia es una transformación que te permite obtener una figura con igual forma pero diferente tamaño que la original. Es como cuando usas el zoom de tu cámara: la imagen puede ser más grande o más pequeña, pero mantiene sus proporciones.

Cuando dos figuras son homotéticas, al trazar líneas rectas que unen los puntos de la figura original con los puntos correspondientes de la imagen, todas estas líneas se cruzan en un mismo punto. Este punto especial se llama centro de homotecia.

💡 Piensa en la homotecia como en la sombra que proyecta una linterna: si acercas o alejas la luz, la sombra cambia de tamaño pero mantiene su forma.

Tipos de Homotecia

La razón de homotecia $k$ es el valor que determina cómo cambiará el tamaño de la figura. Se calcula dividiendo la distancia del centro de homotecia al vértice de la imagen entre la distancia del centro al vértice original.

En una homotecia directa (k > 0):

• Si 0 < k < 1: la figura se reduce y queda del mismo lado del centro
• Si k = 1: la figura resultante es idéntica a la original
• Si k > 1: la figura se amplía y queda del mismo lado del centro

En una homotecia inversa (k < 0):

• Si -1 < k < 0: la figura se reduce y el centro queda entre ambas figuras
• Si k = -1: la figura es del mismo tamaño pero en el lado opuesto
• Si k < -1: la figura se amplía y el centro queda entre ambas figuras

🔍 ¡Dato importante! El signo de k te indica la posición: si es positivo, la figura original y la imagen están del mismo lado del centro; si es negativo, están en lados opuestos.

Homotecia Vectorial

La homotecia vectorial nos permite calcular las nuevas coordenadas de manera matemática. Cuando el centro está en el origen (0,0), simplemente multiplicamos cada coordenada por la razón k:

k · (x,y) = (k·x, k·y)

Por ejemplo, si k = 2, el punto (3,4) se transformaría en (6,8).

Para aplicar una homotecia con centro en un punto (h,k) diferente del origen, debes seguir tres pasos:

1. Trasladar la figura para llevar el centro de homotecia al origen (0,0)
2. Aplicar la homotecia multiplicando las nuevas coordenadas por la razón k
3. Devolver la figura a su posición original haciendo el movimiento contrario al del paso 1

🧩 Un truco útil: Dibuja el centro y la figura original, luego usa una regla para prolongar las líneas desde el centro pasando por cada vértice. La distancia a los nuevos puntos será k veces la distancia original.