Fundamentos Matemáticos

Este apunte aborda los conceptos fundamentales de conjuntos, intervalos y desigualdades lineales que necesitarás dominar en tus estudios de ingeniería comercial. Estos conceptos aparecen constantemente en problemas de optimización, análisis financiero y modelación económica.

Estos fundamentos te permitirán expresar matemáticamente situaciones donde existen límites, restricciones o rangos de valores aceptables, habilidades esenciales para cualquier profesional que trabaje con modelos cuantitativos.

💡 Consejo de estudio: Dominar estos conceptos básicos te ahorrará muchos dolores de cabeza en cursos avanzados de matemáticas, estadística y economía.

Desigualdades y la Recta Numérica

La recta numérica es una herramienta visual que te ayuda a entender las relaciones de orden entre números reales. Cuando ves $a > b$, significa que $a$ está a la derecha de $b$ en la recta numérica, mientras que $a < b$ indica que $a$ está a la izquierda de $b$.

Los símbolos de desigualdad ($<$, $≤$, $>$, $≥$) permiten expresar estas relaciones de orden entre valores. Los números reales se clasifican en positivos (a la derecha del cero) y negativos (a la izquierda del cero).

Este sistema de representación visual te permite interpretar fácilmente expresiones matemáticas complejas y determinar rápidamente si un número pertenece a un intervalo o satisface una desigualdad.

💡 Recuerda: La recta numérica es como un mapa que te ayuda a visualizar las relaciones entre números - los valores aumentan hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda.

Conjuntos

Un conjunto es cualquier colección de objetos bien definida, donde podemos determinar sin ambigüedad si un elemento pertenece o no a dicha colección. Este concepto es fundamental para entender posteriormente los intervalos y regiones de solución.

Los conjuntos pueden ser finitos cuando tienen un número contable de elementos, o infinitos cuando no es posible contar todos sus elementos (como ocurre con los intervalos). El conjunto vacío es aquel que no contiene ningún elemento.

Dominar el concepto de conjunto te permitirá expresar soluciones de desigualdades de forma precisa y compacta, facilitando la interpretación de resultados en problemas aplicados a negocios y economía.

💡 Tip práctico: Cuando trabajes con conjuntos solución de desigualdades, visualízalos como secciones de la recta numérica para entender mejor su significado.

Desigualdades e Intervalos

Los intervalos son conjuntos de números reales con ciertas características. Pueden ser abiertos (sin incluir los extremos), cerrados (incluyendo los extremos) o semiabiertos (incluyendo solo uno de los extremos).

La notación de intervalos te permite expresar de forma compacta los conjuntos solución de desigualdades. Por ejemplo, $a < x < b$ se representa como el intervalo abierto $(a, b)$, mientras que $a ≤ x ≤ b$ corresponde al intervalo cerrado $[a, b]$.

También existen intervalos no acotados que se extienden infinitamente en una dirección, como $(a, ∞)$ que representa todos los números mayores que $a$, o $(-∞, b]$ que representa todos los números menores o iguales a $b$.

💡 Consejo importante: Aprende a traducir rápidamente entre desigualdades e intervalos, pues necesitarás cambiar entre estas representaciones constantemente en problemas de optimización.

Propiedades de las Desigualdades

Al resolver desigualdades, necesitas manipularlas aplicando ciertas propiedades. Si sumas o restas la misma cantidad a ambos lados de una desigualdad, la relación de orden se mantiene igual.

Sin embargo, al multiplicar o dividir ambos lados por un número, debes tener cuidado: si el número es positivo, la desigualdad mantiene su sentido; pero si es negativo, ¡la desigualdad cambia de dirección! Por ejemplo, si multiplicamos $7 > -4$ por $-5$, obtenemos $-35 < 20$.

Estas propiedades son las herramientas fundamentales que usarás para resolver cualquier desigualdad, desde las más simples hasta las más complejas aplicadas a problemas económicos o financieros.

💡 Recuerda siempre: Cuando multipliques o dividas una desigualdad por un número negativo, debes invertir el símbolo de desigualdad (de < a > o viceversa).

Desigualdades Lineales

Las desigualdades lineales son aquellas donde la variable aparece únicamente elevada a la primera potencia. Para resolverlas, debes manipular la expresión hasta despejar la variable, aplicando las propiedades que ya conoces.

Por ejemplo, para resolver $3x + 7 > 5x - 1$, primero agrupas los términos con $x$ en un lado: $3x - 5x > -1 - 7$, lo que te da $-2x > -8$. Como estás multiplicando por un número negativo ($-1/2$), debes invertir la desigualdad: $x < 4$.

El conjunto solución sería ${x | x < 4}$, que en notación de intervalo se escribe como $(-∞, 4)$. La representación gráfica sería una flecha en la recta numérica que se extiende infinitamente hacia la izquierda desde el punto 4 (no incluido).

💡 Consejo práctico: Siempre verifica tu solución probando un valor dentro del intervalo y otro fuera para confirmar que tu respuesta es correcta.

Ejercicios de Desigualdades

Estos ejercicios te ayudan a practicar la resolución de diferentes tipos de desigualdades. Observa que cada ejercicio tiene características particulares: el primero contiene fracciones, el segundo involucra términos cuadráticos, y el tercero trabaja con productos de binomios.

Para el ejercicio 1, debemos resolver $y + \frac{3}{4} \leq \frac{5y-2}{3} + 1$, lo que tras los cálculos nos da $y \in [\frac{5}{8}, \infty)$. Esto significa que $y$ puede ser cualquier número mayor o igual a $\frac{5}{8}$.

Los ejercicios 2 y 3 requieren desarrollar los productos indicados y luego aplicar las propiedades de las desigualdades. La práctica con estos ejercicios te preparará para resolver problemas más complejos en contextos económicos y financieros.

💡 Estrategia: En desigualdades con expresiones cuadráticas o productos, siempre desarrolla primero las operaciones para llevarlas a su forma más simple antes de despejar la variable.

Desigualdades Simultáneas

Las desigualdades simultáneas describen situaciones donde una variable debe cumplir dos o más condiciones a la vez. Se expresan en forma compacta como $a < x < b$, lo que significa que $x$ debe ser mayor que $a$ Y al mismo tiempo menor que $b$.

Para resolver $-7 < 2x - 5 ≤ 3$, dividimos el problema en dos desigualdades: $-7 < 2x - 5$ y $2x - 5 ≤ 3$. Resolviendo cada una por separado, obtenemos $-7 + 5 < 2x$ → $-2 < 2x$ → $-1 < x$ para la primera, y $2x - 5 ≤ 3$ → $2x ≤ 8$ → $x ≤ 4$ para la segunda.

Combinando ambos resultados, la solución es $-1 < x ≤ 4$, o en notación de intervalo: $(-1, 4]$. La solución final siempre será la intersección de los conjuntos solución de cada desigualdad individual.

💡 Visualización útil: Dibuja cada conjunto solución en rectas numéricas separadas y luego identifica visualmente la intersección para encontrar la solución final.

Más Ejercicios de Desigualdades Simultáneas

Estos ejercicios te permiten practicar con desigualdades simultáneas más complejas. El primer ejercicio, $8 - 3x ≤ 2x - 7 < x - 13$, tiene como solución el conjunto vacío (Ø), lo que significa que no existe ningún valor de $x$ que satisfaga todas las condiciones simultáneamente.

El segundo ejercicio, $7 < 3 - \frac{1}{2}x ≤ 8$, nos lleva a la solución $x \in [-10, -8[$, indicando que $x$ puede tomar cualquier valor entre $-10$ y $-8$ incluyendo $-10$ pero no $-8$.

El tercer ejercicio involucra fracciones y requiere manipulaciones algebraicas cuidadosas para llegar a la solución $x \in [0,6[$, que representa todos los valores desde 0 (inclusive) hasta 6 (sin incluirlo).

💡 Consejo para exámenes: En problemas con múltiples desigualdades, organiza tu trabajo paso a paso y mantén claro qué restricciones estás aplicando en cada momento.

Ejercicios de Aplicación

Este tipo de ejercicios conecta las desigualdades con situaciones reales de negocios. En el problema planteado, una empresa fabrica artículos con costos y precios específicos, y necesitamos determinar cuántos artículos debe producir para lograr cierta utilidad mínima.

Para resolverlo, primero identificamos las variables: sea $x$ el número de unidades producidas y vendidas. Los ingresos serán $42.000x$, mientras que los costos totales son $28.000x + 2.100.000$ (costos variables más costos fijos).

La utilidad es la diferencia entre ingresos y costos: $U = 42.000x - (28.000x + 2.100.000) = 14.000x - 2.100.000$. Si queremos una utilidad mensual de al menos $7.000.000$, planteamos: $14.000x - 2.100.000 ≥ 7.000.000$, lo que resuelto nos da $x ≥ 650$ unidades.

💡 Aplicación práctica: Este tipo de problemas muestra cómo las desigualdades son herramientas fundamentales para tomar decisiones comerciales sobre producción, precios y rentabilidad.