Números Enteros y Racionales

Los números enteros siguen patrones predecibles cuando realizas operaciones. Recuerda que:

En la suma o resta:

• Dos números pares dan resultado par
• Dos números impares dan resultado par
• Un número par y uno impar dan resultado impar

En la multiplicación:

• Dos números pares dan resultado par
• Dos números impares dan resultado impar
• Un número par y uno impar dan resultado par

Los números racionales son todos aquellos que se pueden escribir como fracción. Se clasifican en:

• Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador $ejemplo: 3/8$
• Fracciones impropias: el numerador es mayor que el denominador $ejemplo: 5/3$
• Fracciones decimales: el denominador es una potencia de 10 $ejemplo: 7/100$
• Números mixtos: combinan un entero y una fracción $ejemplo: 4 1/8$

💡 Consejo útil: Dominar estos tipos de fracciones te ayudará con la conversión entre notación decimal y fraccionaria, ¡algo que aparece frecuentemente en la PAES!

Tipos de Decimales y Conversiones

Los decimales pueden ser de tres tipos:

• Finitos: terminan en algún momento (0,25; 2,5)
• Infinitos periódicos: después de la coma, se repite un patrón infinitamente (4,555... = 4,5)
• Infinitos semiperiódicos: tienen una parte no periódica seguida de una parte que se repite (1,22444... = 1,224)

Para convertir de decimal a fracción:

1. Decimales finitos:

   • Escribe el número sin coma en el numerador
   • En el denominador, coloca un 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga
   • Ejemplo: 3,21 = 321/100

2. Decimales periódicos:

   • En el numerador: escribe el número sin coma y resta la parte no periódica
   • En el denominador: coloca tantos 9 como dígitos tenga el período
   • Ejemplo: 3,27 = (327-3)/99 = 324/99

3. Decimales semiperiódicos:

   • En el numerador: escribe el número sin coma ni período y resta los números que no están en el período
   • En el denominador: coloca tantos 9 como números bajo el período y tantos 0 como dígitos entre la coma y el período
   • Ejemplo: 2,24 = (224-22)/90 = 202/90

Para convertir de fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

Relaciones de Orden y Equivalencias

Para comparar fracciones y saber cuál es mayor o menor, puedes:

1. Multiplicar cruzado: multiplica cada numerador por el denominador opuesto y compara los resultados.

   • Ejemplo: Para comparar 1/4 y 2/3, haces 1×3=3 y 4×2=8. Como 8 > 3, entonces 2/3 > 1/4.

2. Usar el MCM: encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores y compara los numeradores.

Para comparar decimales:

• Compara dígito a dígito, empezando por las décimas
• Ejemplo: para comparar 0,24567 y 0,252525, observa que ambos tienen 2 en las décimas, pero en las centésimas 4 < 5, por lo tanto 0,24567 < 0,252525

Algunas equivalencias clave que debes recordar:

💡 Recuerda: Memorizar estas equivalencias te ahorrará tiempo en los exámenes y te permitirá resolver problemas más rápidamente.

Problemas de Aplicación con Fracciones

Vamos a ver cómo resolver un problema tipo PAES:

Problema ejemplo: Una cantidad de líquido se distribuye en 96 vasos iguales hasta su capacidad máxima. Se desea verter la misma cantidad de líquido de otro barril idéntico en vasos iguales, pero solo hasta las 3/4 partes de su capacidad. ¿Cuántos vasos más se necesitarán?

Solución paso a paso:

1. Identifica la relación entre las capacidades:

   • Los primeros vasos se llenan al 100% de capacidad
   • Los nuevos vasos se llenan al 75% $3/4 partes$

2. Calcula la proporción de vasos nuevos a originales:

   • Si los nuevos vasos tienen 3/4 de capacidad, la relación es:
   • 1 ÷ (3/4) = 4/3
   • Esto significa que necesitas 4 vasos nuevos por cada 3 vasos originales

3. Aplica la proporción al número de vasos originales:

   • 96 × (4/3) = 128 vasos nuevos en total

4. Calcula los vasos adicionales:

   • 128 - 96 = 32 vasos adicionales

La respuesta es D) 32 vasos adicionales.

Este tipo de problemas evalúa tu capacidad para trabajar con fracciones y proporciones en contextos prácticos, algo común en la PAES.

Problemas con Múltiples Fracciones

Veamos otro problema de aplicación:

Problema: En una fiesta, hay una torta de chocolate. Samantha se come 3/8 de la torta, luego Andrés se come 2/5 de lo que queda, y finalmente, Carla se come 1/4 de lo que queda después de Andrés. ¿Qué fracción de la torta queda sin comer?

Solución:

1. Después de que come Samantha:

   • Queda: 1 - 3/8 = 5/8 de la torta

2. Después de que come Andrés:

   • Andrés come: 2/5 × 5/8 = 10/40 = 1/4 de la torta original
   • Queda: 5/8 - 1/4 = 5/8 - 2/8 = 3/8 de la torta

3. Después de que come Carla:

   • Carla come: 1/4 × 3/8 = 3/32 de la torta original
   • Queda: 3/8 - 3/32 = 12/32 - 3/32 = 9/32 de la torta

La respuesta es 9/32 de la torta.

Este problema demuestra cómo aplicar operaciones con fracciones en secuencia, paso a paso. Recuerda siempre convertir las fracciones a un denominador común cuando necesites restarlas.

💡 Consejo útil: En problemas secuenciales con fracciones, mantén un registro claro de lo que representa cada cálculo en relación con el total original. Esto te ayudará a no confundirte en las etapas intermedias.

Porcentajes

Los porcentajes representan una o varias de las 100 partes iguales en que se puede dividir un número.

• 25% = 25/100 = 0,25

Para calcular el porcentaje de un número:

1. Convierte el porcentaje a fracción (dividiéndolo entre 100)
2. Multiplica esa fracción por el número

Ejemplo 1: Calcular el 35% de 180

• 35% = 35/100
• 35/100 × 180 = 63

Ejemplo 2: Calcular el 42% de 1250

• 42% = 42/100
• 42/100 × 1250 = 525

Para calcular el porcentaje de un porcentaje:

1. Convierte ambos porcentajes a fracciones
2. Multiplica las fracciones
3. Multiplica ese resultado por el número original

Ejemplo: Calcular el 30% de 40% de 500

• 30% = 30/100, 40% = 40/100
• 30/100 × 40/100 = 12/1000 = 3/250
• 3/250 × 500 = 6

💡 Truco rápido: Para calcular porcentajes mentalmente, recuerda que: 10% es dividir entre 10, 1% es dividir entre 100, y 5% es la mitad del 10%. Con estos valores como referencia, puedes calcular otros porcentajes fácilmente.

Cálculos con Porcentajes

Para hallar un número conociendo un porcentaje de él:

1. Convierte el porcentaje a fracción
2. Formula una proporción: $porcentaje/100$ × X = valor conocido
3. Despeja la X

Ejemplo: El 5% de un número es 35. ¿Cuál es ese número?

• 5/100 × X = 35
• 5X = 3500
• X = 700

Para calcular el incremento o variación porcentual:

La fórmula es: CA% = $(Vf - Vi)/Vi$ × 100, donde:

• Vf es el valor final
• Vi es el valor inicial

Pasos:

1. Resta el valor final menos el inicial
2. Divide la diferencia entre el valor inicial
3. Multiplica por 100 para obtener el porcentaje

Ejemplo: El valor inicial es 200 y el final es 250.

• Diferencia: 250 - 200 = 50
• División: 50/200 = 0,25
• Porcentaje: 0,25 × 100 = 25%

La variación porcentual es del 25%.

💡 Atención: En la PAES suelen aparecer problemas de incremento porcentual, especialmente en contextos económicos como aumento de precios o crecimiento poblacional. Practica bien este tipo de ejercicios.

Potencias

Las potencias siguen reglas específicas dependiendo del signo y el exponente:

Con exponentes pares (2, 4, 6...):

• Una base negativa entre paréntesis da resultado positivo: (-4)² = 16
• Una base positiva da resultado positivo: 4² = 16
• Si el signo negativo está fuera del paréntesis, el resultado es negativo: -4² = -16

Con exponentes impares (1, 3, 5...):

• Una base negativa conserva el signo negativo: (-4)³ = -64
• Una base positiva da resultado positivo: 4³ = 64

Propiedades de las potencias:

1. Producto con la misma base: a^m × a^n = a^$m+n$
2. Cociente con la misma base: a^m ÷ a^n = a^$m-n$
3. Potencia de una potencia: $a^m$^n = a^(m×n)
4. Potencia de un producto: (a × b)^n = a^n × b^n
5. Potencia de un cociente: $a/b$^n = a^n/b^n
6. Exponente cero: a^0 = 1 (para a ≠ 0)
7. Exponente negativo: a^$-n$ = 1/a^n
8. Raíz como exponente fraccionario: √a = a^(1/2)

💡 Consejo: Para recordar el comportamiento de los exponentes negativos, piensa que te mueves al "lado contrario" de la fracción y el exponente se vuelve positivo.

Más Propiedades de Potencias y Porcentajes

Otras propiedades de potencias:

9. Multiplicación con distinta base e igual exponente: a^n × b^n = (a × b)^n
10. División con distinta base e igual exponente: $a^n$/$b^n$ = $a/b$^n

Ejemplo: 10^4/5^4 = (10/5)^4 = 2^4 = 16

Problema tipo PAES con porcentajes:

En 2010, el litro de bencina costaba 650 pesos, y en 2022, cuesta 1350 pesos. ¿En qué porcentaje aumentó el precio?

Solución:

1. Identifica los valores: Vi = 650, Vf = 1350
2. Calcula la diferencia: 1350 - 650 = 700
3. Divide entre el valor inicial: 700/650 = 1,0769
4. Multiplica por 100: 1,0769 × 100 = 107,69%

El precio aumentó un 107,69%.

Trabajando con porcentajes en problemas de variación:

La fórmula CA% = $(Vf - Vi)/Vi$ × 100 te permite calcular tanto aumentos como disminuciones:

• Si CA% es positivo, indica un aumento
• Si CA% es negativo, indica una disminución

Para practicar, identifica en los problemas cuál es el valor inicial y cuál es el final, luego aplica la fórmula correctamente.

💡 Atención: En problemas de porcentajes, asegúrate de identificar correctamente si te piden el valor final, el valor inicial o la variación porcentual.

Raíces y sus Propiedades

Una raíz enésima de un número a es el valor que, elevado a la potencia n, da como resultado a. Se representa como √ⁿa.

Relación entre raíces y potencias:

• La raíz enésima se puede expresar como potencia fraccionaria: √ⁿa = a^$1/n$
• Por ejemplo: √a = a^(1/2) y ∛a = a^(1/3)

Propiedades básicas de raíces:

1. Raíz de 0: √ⁿ0 = 0 para cualquier n
2. Raíz de 1: √ⁿ1 = 1 para cualquier n
3. Raíz de un producto: √(a×b) = √a × √b
4. Raíz de un cociente: √$a/b$ = √a / √b
5. Raíz de una raíz: √ⁿ(√ᵐa) = √ⁿᵐa
6. Raíz de una potencia: √ⁿ$a^p$ = a^$p/n$

Raíces y números negativos:

• Si el índice es impar, la raíz de un número negativo existe (∛(-8) = -2)
• Si el índice es par, la raíz de un número negativo no existe en los reales $√(-4) no tiene solución real$

💡 Recuerda: Para problemas de la PAES, es importante saber simplificar raíces descomponiéndolas en factores. Por ejemplo: √72 = √(36×2) = 6√2